Distribución Multinomial

Propiedades del experimento multinomial:

1.      El experimento consiste en n pruebas idénticas.

2.      Hay k posibles resultados de cada prueba

3.      Las probabilidades de los k resultados, denotadas por p_1,p_2,p_3,…..p_k.se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas, donde p_{1 +} p_{2 +… +}p_k=1

4.      Las pruebas son independientes

5.      Las variables aleatorias de interes son las cuentas y_1, y_2,…,y_k  en cada una de las k categorías de clasificación

P(y_1, y_2,…,y_k )  =  (p₁)^y1( p₂)^y2…(p_k)^yk

Donde

p_i=probebildad del resultado i en una sola prueba

p_{1 +} p_{2 +… +}p_k=1

n= y_1, y_2,…,y_k  = numero de pruebas

y_i=numero de osurrencias del resultado i en n pruebas

La media y la varianza de las variables multinomial y_i son , respectivamente

μ=np₁                                                    σ=np_i(1-p_i)

Relaciones entre Multinomial y Binomial

Para el caso en que k = 2, uno se puede convencer que la distribución multinomial coincide con la binomial: interpretando que si no se está en la categoría y_i, se está fuera de la categoría y_i. Como p₁ + p₂ = 1, q – p₂ = 1 − p1 y decimos p = p1. De igual forma,

n2 = n − n1. Reemplazando en la distribución multinomial los valores anteriores, se obtiene que P (N1 = n₁,N2 = n₂) = P (N1 = n₁), donde N1 se distribuye como una binomio de parámetros n y p = p1.

Para el caso en que se tienen k categorías nos interesará la distribución marginal de N_i.

Primero, si seguimos el razonamiento anterior, el hecho que no se seleccione un elemento de la categoría y_i  significa que se selecciona un elemento de el resto de categorías. Esto se hace con probabilidad 1 – p_i, por lo que la distribución marginal de N_i debiera ser una binomial de parámetros n y p_i.

 Haciendo el cálculo:

Función geratriz de momentos:

D= p_i                                                  

f=y₁

Ejemplo:

Una empresa desea conocer la opinión que se tiene sobre tres productos, A, B, C. Sabiendo que el producto A es preferido por e 10 % de los consumidores, el B, por el 30% y el c, por el 40%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas, dos prefieran A, tres prefieran B y dos prefieran el producto C?

Se realizan 10 experimentos consistentes en preguntar a 10 personas sus preferencias por unos productos determinados. Las opciones son cuatro:

Preferir A                    con probabilidad 0,1

Preferir B                    con probabilidad 0,3

Preferir C                   con probabilidad 0,4

No preferir ninguno    con probabildad 0,2

Sea:

X₁=número de personas que prefieren A

X₂=número de personas que prefieren B

X₃=número de personas que prefieren C

X₄=número de personas que no prefieren ninguno

Calculamos:

p[X₁=2, X₂ =3, X₃ =2, X₄ =3]=   10!       

                                                     2!3!2!3!  

 La distribución beta-binomial tiene:

=0.1² 0.3³ 0.4² 0.2³ = 0.0087