Distribución beta binomial

En la teoria de probabilidad y estadísticas , la distribución beta-binomial es una familia de discreta distribuciones de probabilidad que surge cuando la probabilidad de éxito en cada uno de duración determinada o conocida serie de ensayos de Bernoulli es desconocido o al azar. It is frequently used in Bayesian statistics , empirical Bayes methods and classical statics as an overdispersed binomial distribution. Se utiliza con frecuencia en la estadpistica bayesiana , los métodos empiricos de bayes y la estdística clásica como distribución binomial.

La distribución Beta Binomial siempre tiene más difusión (varianza) que su distribución binomial mejor instalación, ya que la distribución Beta añade aleatoriedad adicional. Thus, when a Binomial distribution does not match observations, because the observations exhibit too much spread, a Beta-Binomial distribution is often used instead. Así, cuando una distribución binomial no coincide con las observaciones, ya que las observaciones muestran mucho más extendido, también, una distribución binomial-beta se utiliza a menudo en su lugar.

La distribución binomial-beta se utiliza para modelar el número de éxitos en n ensayos binomial cuando la probabilidad de éxito p es una Beta (a, b) una variable aleatoria.

La flexibilidad extrema de la forma de la distribución Beta significa que a menudo es una representación muy justa de la aleatoriedad de p.

La probabilidad de éxito varía al azar, pero en cualquier escenario de una probabilidad que se aplica a todos los ensayos. For example, you might consider using the Beta-Binomial distribution to model: Por ejemplo, usted podría considerar el uso de la distribución Beta-binomial para modelar:

El número de coches que se estrellan en una carrera de autos n, donde el factor predominante no es la habilidad de cada conductor, pero el tiempo en el día;

Función de densidad

donde n es un entero no negativo, α> 0, y β> 0, se define como la distribución beta-binomial.

Г(m) es la función gama  

para m>0



Tiene la misma masa que los puntos de la distribución binomial. Si  α=β = 1,
entonces la distribución beta-binomial se reduce a una distribución uniforme discreta
sobre los números enteros 0, 1, …, n.

Ejemplo:

Un distribuidor anuncia que el 95% de sus ordenadores no se tiene que reparar durante el año de garantía. Desde el punto de vista bayesiano se puede modernizar esta creencia mediante una Be (4.75, 0.25) ya que si

P ~ Be (4.75, 0.25)

entonces:

E (p) =     4,75

            4,75 + 0,25   =0.95

V ar (p) = 0,0016.

Debido a la aparente calidad, compramos 20 ordenadores, de los cuales 12 requieren reparación durante el año de garantía. Nuestra distribución a posteriori sobre la proporción es entonces ahora

Be (4,75 + 8, 0,25 + 12)

Distribuciones a priori y a posteriori.

Estimadores puntuales.

Algunos valores que resumen la distribución a posteriori son:

Media a posteriori: E (p|x) =   = 0,51

Moda a posteriori:  = 0,51087

Mediana a posteriori: 0.5102709 (en R: qbeta(0.5,12.75,12.25)).

Estimación por intervalos:

Un intervalo de probabilidad 0.95 es

En R:

p <- c (0.025,0.975)

qbeta(p,12.75,12.25)

Obteniéndose [0,32; 0,70]

Contrastamos la hipótesis H0 : p  0,95 frente a H1 : p < 0,95, que se correspondería con contrastar el anuncio.

Como, al considerar la orden en R, pbeta(0.95,12.75,12.25), se obtiene 1, entonces se tiene que

P (H1|x) _ 1

P (H0|x) _ 0,

por lo que los datos sugieren que el distribuidor está exagerando.