Descarga archivo en word (Distribucion beta binomial)

Caratula:

Estadística

Fierro López Alejandra

Fes Acatlán  

  

Maestro: Matías Hernández Sergio Alejandro    

                                                                                                                                                                                                                                 

Multinomial y Beta Binomial

Introducción:

Se realizara una investigación acerca de las distribuciones beta-binomil y multinomial, para así poder comprender todas y cada una de sus distribuciones de cada una de las distribuciones mencionadas.
El ejemplo mencionado se realizara tanto analíticamente como en R para asi entender un poco mas de las distribuciones.

Objetivo de la distribución beta binomial:

El modelo de Metheringham (1964) se basa en la distribución beta binomial para estimar tanto la cobertura como la distribución de contactos, mientras que Hofmans beta binomial aplica la formula ad hoc de Hofmans (1966) para estimar la cobertura y recurre a la distribución beta binomial solamente para aproximar la distribución de contactos.

Distribución beta binomial

En la teoria de probabilidad y estadísticas , la distribución beta-binomial es una familia de discreta distribuciones de probabilidad que surge cuando la probabilidad de éxito en cada uno de duración determinada o conocida serie de ensayos de Bernoulli es desconocido o al azar. It is frequently used in Bayesian statistics , empirical Bayes methods and classical statics as an overdispersed binomial distribution. Se utiliza con frecuencia en la estadpistica bayesiana , los métodos empiricos de bayes y la estdística clásica como distribución binomial.

La distribución Beta Binomial siempre tiene más difusión (varianza) que su distribución binomial mejor instalación, ya que la distribución Beta añade aleatoriedad adicional. Thus, when a Binomial distribution does not match observations, because the observations exhibit too much spread, a Beta-Binomial distribution is often used instead. Así, cuando una distribución binomial no coincide con las observaciones, ya que las observaciones muestran mucho más extendido, también, una distribución binomial-beta se utiliza a menudo en su lugar.

La distribución binomial-beta se utiliza para modelar el número de éxitos en n ensayos binomial cuando la probabilidad de éxito p es una Beta (a, b) una variable aleatoria.

La flexibilidad extrema de la forma de la distribución Beta significa que a menudo es una representación muy justa de la aleatoriedad de p.

La probabilidad de éxito varía al azar, pero en cualquier escenario de una probabilidad que se aplica a todos los ensayos. For example, you might consider using the Beta-Binomial distribution to model: Por ejemplo, usted podría considerar el uso de la distribución Beta-binomial para modelar:

El número de coches que se estrellan en una carrera de autos n, donde el factor predominante no es la habilidad de cada conductor, pero el tiempo en el día;

Función de densidad

donde n es un entero no negativo, α> 0, y β> 0, se define como la distribución beta-binomial.

Г(m) es la función gama  

para m>0



Tiene la misma masa que los puntos de la distribución binomial. Si  α=β = 1,
entonces la distribución beta-binomial se reduce a una distribución uniforme discreta
sobre los números enteros 0, 1, …, n.

Ejemplo:

Un distribuidor anuncia que el 95% de sus ordenadores no se tiene que reparar durante el año de garantía. Desde el punto de vista bayesiano se puede modernizar esta creencia mediante una Be (4.75, 0.25) ya que si

P ~ Be (4.75, 0.25)

entonces:

E (p) =     4,75

            4,75 + 0,25   =0.95

V ar (p) = 0,0016.

Debido a la aparente calidad, compramos 20 ordenadores, de los cuales 12 requieren reparación durante el año de garantía. Nuestra distribución a posteriori sobre la proporción es entonces ahora

Be (4,75 + 8, 0,25 + 12)

Distribuciones a priori y a posteriori.

Estimadores puntuales.

Algunos valores que resumen la distribución a posteriori son:

Media a posteriori: E (p|x) =   = 0,51

Moda a posteriori:  = 0,51087

Mediana a posteriori: 0.5102709 (en R: qbeta(0.5,12.75,12.25)).

Estimación por intervalos:

Un intervalo de probabilidad 0.95 es

En R:

p <- c (0.025,0.975)

qbeta(p,12.75,12.25)

Obteniéndose [0,32; 0,70]

Contrastamos la hipótesis H0 : p  0,95 frente a H1 : p < 0,95, que se correspondería con contrastar el anuncio.

Como, al considerar la orden en R, pbeta(0.95,12.75,12.25), se obtiene 1, entonces se tiene que

P (H1|x) _ 1

P (H0|x) _ 0,

por lo que los datos sugieren que el distribuidor está exagerando.

Objetivo de la distribucion multinomial

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial , y se usa cuando el exoerimento aleatorio no solo da lugar a dis posibles sucesos, éxito y fracaso, como ocurria en la binomial, sino que da lugar tres o mas posibles resultados.

Distribución Multinomial

Propiedades del experimento multinomial:

1.      El experimento consiste en n pruebas idénticas.

2.      Hay k posibles resultados de cada prueba

3.      Las probabilidades de los k resultados, denotadas por p_1,p_2,p_3,…..p_k.se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas, donde p_{1 +} p_{2 +… +}p_k=1

4.      Las pruebas son independientes

5.      Las variables aleatorias de interes son las cuentas y_1, y_2,…,y_k  en cada una de las k categorías de clasificación

P(y_1, y_2,…,y_k )  =  (p₁)^y1( p₂)^y2…(p_k)^yk

Donde

p_i=probebildad del resultado i en una sola prueba

p_{1 +} p_{2 +… +}p_k=1

n= y_1, y_2,…,y_k  = numero de pruebas

y_i=numero de osurrencias del resultado i en n pruebas

La media y la varianza de las variables multinomial y_i son , respectivamente

μ=np₁                                                    σ=np_i(1-p_i)

Relaciones entre Multinomial y Binomial

Para el caso en que k = 2, uno se puede convencer que la distribución multinomial coincide con la binomial: interpretando que si no se está en la categoría y_i, se está fuera de la categoría y_i. Como p₁ + p₂ = 1, q – p₂ = 1 − p1 y decimos p = p1. De igual forma,

n2 = n − n1. Reemplazando en la distribución multinomial los valores anteriores, se obtiene que P (N1 = n₁,N2 = n₂) = P (N1 = n₁), donde N1 se distribuye como una binomio de parámetros n y p = p1.

Para el caso en que se tienen k categorías nos interesará la distribución marginal de N_i.

Primero, si seguimos el razonamiento anterior, el hecho que no se seleccione un elemento de la categoría y_i  significa que se selecciona un elemento de el resto de categorías. Esto se hace con probabilidad 1 – p_i, por lo que la distribución marginal de N_i debiera ser una binomial de parámetros n y p_i.

 Haciendo el cálculo:

Función geratriz de momentos:

D= p_i                                                  

f=y₁

Ejemplo:

Una empresa desea conocer la opinión que se tiene sobre tres productos, A, B, C. Sabiendo que el producto A es preferido por e 10 % de los consumidores, el B, por el 30% y el c, por el 40%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas, dos prefieran A, tres prefieran B y dos prefieran el producto C?

Se realizan 10 experimentos consistentes en preguntar a 10 personas sus preferencias por unos productos determinados. Las opciones son cuatro:

Preferir A                    con probabilidad 0,1

Preferir B                    con probabilidad 0,3

Preferir C                   con probabilidad 0,4

No preferir ninguno    con probabildad 0,2

Sea:

X₁=número de personas que prefieren A

X₂=número de personas que prefieren B

X₃=número de personas que prefieren C

X₄=número de personas que no prefieren ninguno

Calculamos:

p[X₁=2, X₂ =3, X₃ =2, X₄ =3]=   10!       

                                                     2!3!2!3!  

 La distribución beta-binomial tiene:

=0.1² 0.3³ 0.4² 0.2³ = 0.0087

Conclusión:

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial, la distribución Beta Binomial se utiliza con frecuencia en la estadística bayesiana, los métodos empíricos de bayes y la estadística clásica como distribución binomial.

Bibliografia:

Métodos Estadisticos para medir, describir y controlar las variables, Alberto Luceño Vázquez,Francisco Javier González Ortiz, 2005, Textos universitarios.

http://books.google.com.mx/books?id=383I0j2X4tIC&pg=PA144&dq=beta+binomial&hl=es&ei=zVClTMreHsvtnQf28tCQAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q=beta%20binomial&f=false

Probabilidad y Estadistica, Murray R,1975,Estadistica, McGraw Hill.

Mood, Alexander McFar1ane, 1913, Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hi1l series in probability and statistics.

http://translate.google.com.mx/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.math.aau.dk/~slb/kurser/bayes-08/betabin.pdf