domingo, 3 de octubre de 2010

Distribución Multinomial

Propiedades del experimento multinomial:
1.      El experimento consiste en n pruebas idénticas.
2.      Hay k posibles resultados de cada prueba
3.      Las probabilidades de los k resultados, denotadas por p1,p2,p3,…..pk.se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas, donde p1 + p2 +… +pk=1
4.      Las pruebas son independientes
5.      Las variables aleatorias de interes son las cuentas y1, y2,…,yk  en cada una de las k categorías de clasificación
P(y1, y2,…,yk )  =  (p1)y1( p2)y2…(pk)yk
Donde
pi=probebildad del resultado i en una sola prueba
p1 + p2 +… +pk=1
n= y1, y2,…,yk  = numero de pruebas
yi=numero de osurrencias del resultado i en n pruebas
La media y la varianza de las variables multinomial yi son , respectivamente
μ=np1                                                    σ=npi(1-pi)
Relaciones entre Multinomial y Binomial

Para el caso en que k = 2, uno se puede convencer que la distribución multinomial coincide con la binomial: interpretando que si no se está en la categoría yi, se está fuera de la categoría yi. Como p1 + p2 = 1, q p2 = 1 p1 y decimos p = p1. De igual forma,
n2 = n n1. Reemplazando en la distribución multinomial los valores anteriores, se obtiene que P (N1 = n1,N2 = n2) = P (N1 = n1), donde N1 se distribuye como una binomio de parámetros n y p = p1.

Para el caso en que se tienen k categorías nos interesará la distribución marginal de Ni.

Primero, si seguimos el razonamiento anterior, el hecho que no se seleccione un elemento de la categoría yi  significa que se selecciona un elemento de el resto de categorías. Esto se hace con probabilidad 1 pi, por lo que la distribución marginal de Ni debiera ser una binomial de parámetros n y pi.
 Haciendo el cálculo:

Función geratriz de momentos:

D= pi                                                  
f=y1

Ejemplo:
Una empresa desea conocer la opinión que se tiene sobre tres productos, A, B, C. Sabiendo que el producto A es preferido por e 10 % de los consumidores, el B, por el 30% y el c, por el 40%.
¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas, dos prefieran A, tres prefieran B y dos prefieran el producto C?
Se realizan 10 experimentos consistentes en preguntar a 10 personas sus preferencias por unos productos determinados. Las opciones son cuatro:
Preferir A                    con probabilidad 0,1
Preferir B                    con probabilidad 0,3
Preferir C                   con probabilidad 0,4
No preferir ninguno    con probabildad 0,2

Sea:
X1=número de personas que prefieren A

X2=número de personas que prefieren B

X3=número de personas que prefieren C

X4=número de personas que no prefieren ninguno

Calculamos:

p[X1=2, X2 =3, X3 =2, X4 =3]=   10!       
                                                     2!3!2!3!  
 La distribución beta-binomial tiene:

=0.12 0.33 0.42 0.23 = 0.0087

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